MATEMÁTICA PROFa. HAYDÉE

terça-feira, 4 de agosto de 2015

04 - VIDEO - Resolução da Equação de 2º Grau Incompleta - Fórmula de Bhaskara

EQUAÇÃO DE 2º GRAU - Fórmula de Bhaskara

https://www.youtube.com/watch?v=-kCOHO_pNxs DELTA > 0

https://www.youtube.com/watch?v=182qY8p_kWo DELTA = 0

https://www.youtube.com/watch?v=28vd6-xNT84 DELTA < 0

04 - Resolução de Equação de 2º grau Completa - Formula de Bhaskara

EQUAÇÕES 2º GRAU

Denomina-se equação do 2º grau, a toda expressão matemática que possa ser reduzida à forma:

ax² + bx + c = 0

Onde a, b e c são os coeficientes ou valor/factor multiplicativo da variável de cálculo x.

As equações do segundo grau caracterizam-se por 2 raízes ou soluções derivado ao maior índice da incógnita x² (o quadrado).

Para se encontrar o valor das soluções ou raízes X, utiliza-se a seguinte expressão:

Fórmula Quadrática ou Fórmula de Bhaskara

Nota: Normalmente, na iniciação a este género de equações, define-se que a (coeficiente em x^2), tem de ser diferente de zero. Bom, faz sentido!!! Doutra forma, anular-se-ia o quadrado, tornando nossa equação do 2º grau numa equação do 1º grau,

Vamos então passar a um exemplo mais específico sobre a aplicação desta expressão delta:

Utilização da Expressão de Delta

A partir deste ponto só precisamos continuar calculando, até encontrar as raizes ou soluções de x.

Depois, desta resumida introdução teórica, avancemos então para a resolução de exercícios! Não se apresse, tente perceber os conceitos que envolvem a resolução das funções no geral.

quinta-feira, 18 de junho de 2015

03 - LIÇÃO DE CASA - Resolução de Equação de 2º Grau Incompleta

1 - Lição de casa

Resolução de Equação do 2º grau Incompletas

Aplique a simplificação adequada a cada tipo de equação do 2º grau incompleta para a resolução e determine a raiz da equação

1º caso

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau. Quando b = 0

a) x² - 49 = 0

b) x² = 1

c) 2x² - 50 = 0

d) 7x² - 7 = 0

e) 5x² - 15 = 0

f) 21 = 7x²

2º caso

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau. Quando c = 0

a) x² - 7x = 0

b) x² + 5x = 0

c) 4x² - 9x = 0

d) 3x² + 5x =0

e) 7x² = -14x

f) -2x² + 10x = 0

3) Escreva as equações em sua forma reduzida e determine a raiz das equações do 2° grau

a) x² + x (x – 6) = 0

b) (x + 5)² = 25

c) (x – 2)² = 4 – 9x

d) (x + 1) (x – 3) = -3

03 - VIDEO - Resolução de Equação do 2º Grau Incompleta

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU INCOMPLETA

https://www.youtube.com/watch?v=sDeIKwD7Tjo

03 - Resolução de Equação do 2º Grau - Incompletas

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções, ou seja, encontrar o valor desconhecido da incógnita, ou seja, obter a Solução ou a Raiz da Equação.

2ºcaso - Resolução de equações do 2º grau incompletas

Para resolver uma equação incompleta do 2º grau, podemos aplicar a fórmula de Bhaskara ou resolvê-la aplicando simplificações adequadas a cada tipo de equação do 2º grau incompleta.

1° CASO – Equações da forma ax² + c = 0, quando (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0

x² = 25

x = √25

x = 5

logo V = (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0

2x² = 18

x² = 18/2

x² = 9

x = √9

x = 3

logo V = (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0

7x² = 14

x² = 14/7

x² = 2

x = √2

logo V = (-√2 e +√2)

4) x² + 25 = 0

x² = -25

x = √-25

obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

2° CASO - Equações da forma ax² + bx = 0 , quando (c = 0)
Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos
1) resolver   x² - 5x = 0
fatorando   x(x – 5) = 0
deixando um dos fatores nulo temos   x = 0
e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos   x = 5
logo, V = (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x(3x – 10) = 0
deixando um dos fatores nulo temos x = 0
Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3
logo V= (0 e 10/3)
Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.

3° CASO - Equações da forma ax² = 0 , quando (b = 0 e c = 0)

Exemplos:

1) x² = 0

x = √0

x = 0

logo V = ( 0 )

5) 2x² = 0

x² = 0/2

x² = 0

x = √0

x = 0

logo V = ( 0 )

02 - Resolução de Equação do 2º Grau - Por meio de Tentativas

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Resolução é resolver uma equação, é determinar o valor desconhecido da incógnita, ou seja, obter a Solução ou a Raiz da Equação.

1ºcaso - Resolução por meio de tentativas

Uma das maneiras de determinar a solução de uma equação do 2º grau é por meio de tentativas, atribuindo valores à incógnita até obter uma igualdade verdadeira.

Exemplo:

Verifique se os valores x = 1 , x = 2 dados para a incógnita, são raiz da equação x² + x – 2 = 0

para x = 1

x² + x – 2 = 0

1² + 1 – 2 = 0 è substituindo a incógnita x

1 + 1 – 2 = 0 è resolvendo a potencia

2 – 2 = 0 è resolvendo a adição

0 = 0 è resolvendo a subtração portanto x = 1 é raiz da equação

Para x = 2

x² + x – 2 = 0

2² + 2 – 2 = 0 è substituindo a incógnita x

4 + 2 – 2 = 0 è resolvendo a potencia

6 – 2 = 0 è resolvendo a adição

4 ≠ 0 è resolvendo a subtração portanto x = 2 não é raiz da equação

Então: S = { 1 }

Exercício: Verifique se os valores a seguir são raiz das equações:

a) x² - 2x = 0 para x = 1 e x = 2

b) 3x² - x + 1 = 0 para x = 0 e x = 1

domingo, 7 de junho de 2015

01 - LIÇÃO DE CASA - Equação de 2º grau (Definição)

4 - Lição de casa

Definição e Conceito de Equação do 2º grau

1) Quais das equações a seguir são equações do 2º grau:

a) x² + 2x + 1 = 0

b) 8x – 5x – 2 = 0

c) 7x² - 8x + 3 = 0

d) 0x² + 5x – 8 = 0

e) - 5x² - 1 = 0

f) 6x² - 8x = 0

g) x³ - 5x² + 4 = 0

h) - x – 7x – 1 = 0

2) Determine os valores dos coeficientes a, b e c nas equações a seguir e classifique em completa ou incompleta.

a) 3x² - 7x + 2 = 0

b) - 2x² - 7x = 15

c) 4x² + 9 = 12x

d) x² = x

e) 2x² = – 18

f) x² = 4x

g) 25x² = 20x – 4

h) 15 = – x²

i) - x² + 3x – 6 = -8

j) x² + x – 7 = 5

k) - 4x² - x + 1 = x + 3x²

l) 3x² + 5x - 9 = -5x – 9 + 2x²

3) Escreva a equação em sua forma reduzida ax² + bx + c = 0 e classifique em completa ou incompleta.

a) a = 2 b = (-8) c = 8

b) a = 1 b = (- 4) c = (-5)

c) a = (-1) b = 1 c = 12

d) a = (-1) b = 6 c = (-5)

e) a = 6 b = 1 c = (-1)

f) a = 1 b = 0 c = (-49)

g) a = 1 b = 0 c = (-1)

h) a = 2 b = 0 c = (-50)

i) a = (-7) b = 0 c = 7

j) a = (-5) b = 0 c = (-15)

k) a = 7 b = (-1) c = 0

l) a = (-2) b = (-7) c = 0

m) a = 2 b = 8 c = 0

n) a = 7 b = (-14) c = 0

o) a = (-2) b = 10 c = 0

p) a = 10 b = 0 c = 0

q) a = (-3) b = 0 c = 0

01 - VIDEO - Equação de 2º grau - Definição

https://www.youtube.com/watch?v=AlmxVKI7FlA

01 - Equação de 2º grau - Definição

EQUAÇÃO DO 2ºGRAU

DEFINIÇÃO

Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma: ax² + bx + c = 0 onde:

* a, b e c são números reais chamados coeficientes da equação, com a ≠ 0

* x é a incógnita ou variável

Exemplos: 1) Determine os coeficientes das equações a seguir:

1) 4x² + 5x – 3 = 0 a = 4 b = 5 c = -3
2) x² -2 x + 7 = 0 a = 1 b = -2 c = 7

3) x² +3x = 0 a = 1    b = 3 c = 0
4) 2x² = 0 a = 2    b = 0 c = 0
5) x² - 44 = 0                         a = 1    b = 0 c = -44

Equação Completa e Incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau pode se apresentar: Completa ou Incompleta.

I – Completa è Se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

ax² + bx + c = 0 Exemplos: 1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5

2).3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2

I I– Incompleta è Se um dos coeficientes b e c foram iguais a zero.

ax² + c = 0 Exemplos: x² + 10 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = 10

ax² + bx = 0 Exemplos: 5x² - x = 0, onde a = 5, b = -1 e c = 0

ax² = 0 Exemplos: 4x² = 0 , onde a = 4, b = 0 e c = 0

domingo, 31 de maio de 2015

PESQUISA - Bhaskara

Bhaskara a pessoa

Bhaskaracharya nasceu em 1114 na cidade de Vijayapura, na Índia. Também era conhecido como Bhaskara .

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia

Foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia.

Qual seu livro mais famoso?

Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana ( medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau: Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas, o que ele faz e' mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.

o Siddhanta-siromani, dedicado a assuntos astronômicos e dividido em duas partes

o Bijaganita que é um livro sobre Álgebra, Bhaskara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau , ai ele realmente fez grandes contribuições.

A fórmula de Bhaskara

Bhaskara nem sabia o que é uma fórmula As fórmulas surgem na Matemática só 400 anos depois de sua morte, consequentemente, não poderia ele ter descoberto fórmula nenhuma.

Naquela época, as equações eram resolvidas com regras! Chamamos de regra à uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar, para resolver o problema. Entre essas regras, destacamos a seguinte que tem uma formulação muito próxima do procedimento que hoje usamos:

O nome Fórmula de Bhaskara foi dada em homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do século XII.

A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax²+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

Chama-se de discriminante: Δ = b²-4ac

Dependendo do sinal de Δ, temos:

Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.
Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes.
Δ<0, então a equação não tem raízes reais.

Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.

· Sendo x₁ e x₂ raízes da equação ax²+bx+c=0, então:

$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}$

· S = x₁+x₂ = -b/a

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 +4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

· P = x_1.x₂ = c/a

A importância da Fórmula de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Física por exemplo.

Bhaskara obteve grande reconhecimento pelas suas importantes contribuições para a Matemática. Em 1207, uma instituição educacional foi criada para estudar o seu trabalho. Em uma inscrição medieval em um templo indiano podemos ler:

Triumphant is the illustrious Bhaskaracharya whose feats are revered by both the wise and the learned. A poet endowed with fame and religious merit, he is like the crest on a peacock.

Triunfante é o ilustre Bhaskaracharya cujos feitos são reverenciados por ambos os sábios e os instruídos. Um poeta dotado de fama e mérito religioso, ele é como a crista de um pavão

Bhaskara morreu em 1185 na cidade Ujjain, Índia aos 71 anos de idade.

FONTES DE PESQUISA

http://www.infoescola.com/matematica/formula-de-bhaskara/

http://pt.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_II

http://ecalculo.if.usp.br/historia/bhaskara.htm